Can’t Stop

Can't Stop c'est quoi ?

Can't Stop est un jeu de société initialement créé aux États-Unis par Sid Sackson en 1980. Il fut ensuite édité et modifié dans plusieurs pays, dont la France, tout en restant proche de l'esprit et la thématique du jeu, l'escalade. Deux à quatre joueurs sont requis, et la durée d'une partie est estimé à minutes environ. Au premier abord, l'enjeu du Can't Stop est d'être chanceux lors du tir des dés et de construire une bonne tactique pour gagner selon les règles établies. Nous allons voir qu'une étude mathématique peut être réalisée afin de s'assurer la réussite de la partie.

Sources: https://www.philibertnet.com/fr/oya/35721-can-t-stop-3760207030275.html , https://fr.wikipedia.org/wiki/Can%27t_Stop_(jeu)

Fonctionnement du jeu

Le plateau de jeu est constitué de onze voies à "escalader". Chaque joueur dispose de neuf pions, d'une couleur accordée au joueur (joueur 1 = couleur rouge, par exemple). Lorsque c'est le tour d'un des joueurs, celui-ci reçoit trois grimpeurs et quatre dés, qui seront ensuite passés au joueur suivant à la fin du tour.

Le joueur commence par lancer les quatre dés. En fonction du résultat de chaque dé, il va choisir deux nombres formés par la somme des dés deux à deux, qui représentent les voies à grimper sur le plateau. Par exemple, si le joueur obtient 4-3-2-4, il peut choisir deux nombres parmi: 7 (3+4), 6 (4+2), 5 (3+2) et 8 (4+4).

Le joueur pourra alors positionner deux grimpeurs sur les voies correspondant aux nombres choisis, ou avancer un grimpeur de deux cases sur la voie correspondante si les deux sommes choisis sont identiques.

Il est impossible de grimper plus de trois voies et une voie conquise ne peut pas non plus être utilisée par les autres joueurs, ce qui signifie que si tous les grimpeurs sont déjà sur les voies indiquées par les sommes des dés possibles, il est impossible de jouer.

S'il n'est pas possible d'avancer les deux grimpeurs, il faut au moins en avancer un sur l'une des deux autres voies disponibles. Si on peut pas avancer au moins un grimpeur alors le joueur est forcé de s'arrêter et le tour est terminé.

Lorsque le joueur a réussi à avancer au moins un grimpeur, il a la possibilité de s'arrêter ou continuer:
S'il continue, le joueur lance à nouveau les dés et poursuit son tour.
Si il s'arrête, le joueur retire ces trois grimpeurs du plans et les remplace par ses pions pour indiquer où il s'est arrêté, ce qui permet de "sauvegarder" la progression du joueur, puis le tour passe au joueur suivant.

Quand un joueur possède un grimpeur sur la dernière case d'une voie à la fin de son tour, il pose un pion sur cette case pour indiquer qu'il a conquis cette voie, ce qui la rend inutilisable.

Lorsqu'un joueur atteint le sommet de trois voies, il gagne la partie.

Que se passerait-il si l'ont avait que deux dés et six voies ?

Un jet de quatre dés donne une combinaison de quatre chiffres compris entre 1 et 6. Si on fait le calcul: on a 4 fois 6 possibilités. Ce qui veut dire qu'un tel jet a un total de 6 * 6 * 6 * 6 = 6⁴ possibilités, c'est à dire exactement 1296 combinaisons, ceci correspond à un arrangement avec répétition.

En effet, "le nombre d'arrangements avec répétions de k éléments d'un ensemble fini de cardinal n est égal à n^k"
Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Arrangement_avec_r%C3%A9p%C3%A9tition

Mais si l'on réduit le nombre de dés à deux, un jet donnera une combinaison de deux nombres entre 1 et 6, soit 6 * 6 = 36 possibilités (racine carrée de 1296), ce qui réduit fortement le nombre de combinaisons (et ne laisse pas le joueur choisir deux sommes parmi les quatre choix obtenus avec quatre dés).

Si l'on réduit le nombre de voies à six et jouons avec deux dés, il est possible de terminer une partie bien plus rapidement qu'avec quatre dés et onze voies, grâce au nombre réduit de combinaisons possibles. Mais ceci peut causer des problèmes car certaines combinaisons ne seront pas disponibles en tant que voie sur le plan, en fonction des numéro choisie parmi les 6 voies.

Il y a t'il une position favorable pour nos trois grimpeurs ?

On sait qu'il y a exactement 1296 combinaisons possibles et que chacune de ces combinaisons nous permet d'obtenir plusieurs sommes parmi les choix possibles.

Si l'on calcule la probabilité d'occurrence de chaque somme possible (de 2 à 12), c'est à dire le nombre de jets présentant au moins une fois la somme en question, on peut en déduire quelle somme à la plus grande chance d'être possible avec la combinaison des quatre chiffres obtenus du lancer de dés.

En regardant le plan du jeu, on remarque que les voies 2 et 12 sont les plus courtes, mais les voies 6, 7 et 8 sont les plus longues. C'est le cas car si on a deux dés de 1 à 6, une seul combinaison est possible pour obtenir 12 (6 + 6) et de même pour obtenir 2 (1 + 1). Mais pour 6, 7 et 8 on peut les obtenir avec trois combinaisons différentes pour chacun:
1 + 5, 2 + 4 et 3 + 3 pour 6
1 + 6, 2 + 5 et 3 + 4 pour 7
2 + 6, 4 + 4 et 5 + 3 pour 8.
(Notez que ces combinaisons sont "inversibles", par exemple pour 6 on peut très bien avoir 5 + 1 au lieu de 1 + 5, etc)

Cela signifie qu'ont a une plus grande chance d'obtenir 6, 7 et 8 que 2 ou 12, de même pour les voies plus courtes que 6, 7 et 8.

D'un point de vue stratégique basé sur les probabilités, il est préférable d'avoir ses grimpeurs sur les voies qui correspondent au sommes qui ont la plus grande chance d'être obtenue (c'est à dire 6, 7 et 8), afin de pouvoir avancer le plus de fois possible lorsque c'est notre tour. (7 étant la plus longue voie du plan, une autre stratégie peut être de choisir une autre voie plus courte mais qui a moins de chance d'apparaître comme 5 ou 9, en plus des voies 6 et 8).

Faisons une étude de cas sur 3 voies fixés

Imaginons qu'un joueur a 3 pions sur les voies 2, 3 et 4 respectivement.
Pour obtenir 3, il faut que le jet de dés propose la combinaison 1 + 2.
Pour obtenir 4, il nous faut 2 + 2 ou 1 + 3.
On sait que pour obtenir 2, il nous faut forcément la combinaison 1 + 1.

Comme le joueur à seulement une combinaison possible pour les voies 2 et 3, et deux combinaisons possibles pour la voie 4, ses chances de gagner sont plus faibles qu'un joueur qui possède des pions sur des voies plus favorables (comme les voies listés précédemment).

Grâce aux statistiques obtenues sur http://www.taterenner.com/cantstop.pdf, on constate que l'on a 52% de chance d'avancer si ses pions se trouvent sur les voies 2, 3 et 4.

Si l'on compare ce pourcentage à celui de combinaison ayant l'une ou plusieurs voies plus favorables listé précédemment (6, 7 et 8), on peut voir que l'on a au moins 80% (92% si on a exactement ces trois voies) de chance d'avancer, ce qui est une bien plus grande chance que 52%.

Quel est le meilleur moment pour s'arrêter ou continuer ?

Avec les informations données précédemment, le meilleur moment pour s'arrêter lors de son premier tour devrait être lorsqu'on a réussi à placer ses pions sur des voies favorables, ce qui nous permettra d'avoir une bonne chance de pouvoir continuer à jouer et avancer plusieurs fois de suite avant de s'arrêter.

Pour les tours suivants, il faudra quand même s'arrêter éventuellement car il y aura toujours une chance que l'on se retrouve coincé. Par exemple, si on a nos grimpeurs sur les voies 6, 7 et 8, on a 92% de chances de pouvoir avancer, mais cela fait quand même 8% de chances d'être bloqué.

Conclusion

La meilleure stratégie serait de continuer son tour plusieurs fois avant de s'arrêter si on a des voies favorables (mais pas infiniment car il y a toujours un risque), et de s'arrêter rapidement (après 1 ou 2 tours) si on a des voies moins favorables.

Bibliographie

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