Vote en démocratie: Des systèmes justes ?

Vous êtes vous déjà interrogé sur les systèmes de vote mis en place dans nos démocraties modernes ? Vous êtes vous déjà demandé qui les avait mis en place ? Et surtout, si elles permettaient vraiment de refléter l’opinion du peuple ?
Que vous vous soyez déjà posé ces questions ou non, nous allons y répondre dans cet article.

Commençons d’abord par un peu d’histoire. Ici, nous ne nous intéressons pas réellement aux droits accordés aux citoyens au fur et à mesure du temps mais plutôt aux scrutins mis en place lors des élections.
Le système de votes actuel que nous avons en France se nomme scrutin uninominal majoritaire à deux tours. Il a été mis en place lors de la Cinquième République et n’a pas été réfuté depuis étant jugé comme le plus juste et simple à exécuter.
Nous allons voir par la suite, notamment grâce au mathématicien français Nicolas de Condorcet, que ce scrutin est en réalité loin de pouvoir représenter l’opinion publique à chaque fois.

Avant d’énoncer clairement le plan, nous allons mettre de côté un cas particulier auquel les différents problèmes et paradoxes que nous évoquerons ne s’appliquent pas: les référendum.
En effet, lorsque les électeurs n’ont le choix qu’entre deux options, le résultat final du vote correspondra forcément à l’option choisie par la majorité, ces derniers n’ayant aucune raison de truquer le vote.
Par exemple, le votant A sera forcément soit pour, soit contre une loi. S’il hésite entre les deux, il votera pour le choix pour lequel il a une légère préférence. Il en va de même pour le reste de la population ce qui résultera en une décision prise à la majorité et donc irréfutable.

Nous verrons dans un premier temps le scrutin uninominal majoritaire à un tour ainsi que celui à deux tours qui existent respectivement aux Etats-Unis et en France.
Nous expliquerons les méthodes utilisées lors de ces scrutins ainsi que les paradoxes qu’ils peuvent soulever. Nous verrons par la suite une autre méthode mise en place en Autriche appelée vote préférentiel ainsi que les problèmes qu’elle peut engendrer à son tour. Enfin, nous introduirons le critère de Condorcet qui permettrait de trouver le réel vainqueur à l'issu d'un vote. Nous comparerons également à l’aide d’un programme les différentes méthodes présentées dans l'article.

Le scrutin uninominal majoritaire

Aussi nommée la méthode du scrutin à la majorité, il s’agit d’une procédure de vote très simple. Elle consiste à nommer comme vainqueur le candidat qui remporte le plus grand nombre de votes lorsque les électeurs n’ont le droit qu’à un vote.
Ce système de vote est utilisé pour l'élection des présidents dans certains pays comme: la Corée du Sud, le Canada, l’Islande, le Kenya, les Etats-Unis, Taïwan, … Cependant, il y a une grande différence au niveau des élections aux Etats- Unis car le président n’est pas élu par le peuple mais par les “grands électeurs” qui sont eux-mêmes désignés par la population de chaque Etat.

Soit C le groupe représentant l’ensemble des candidats, |C| = n où n est le nombre de candidats à une élection. Pour chaque candidat est attribué à la fin des élections un pourcentage d’électeurs.
Prenons α un élément de C, α est élu vainqueur du scrutin si pour tout x dans C{α}, nb_vote(α) > nb_vote(x) où nb_vote représente le nombre de vote des électeurs pour un candidat donné.
Inconvenance:
Prenons cette fois |C| = 4 et c1, c2, c3, c4 les éléments de C, et un nombre d’électeurs égal à 1000, et soit:

  • nb_vote(c1) = 450;
  • nb_vote(c2) = 250;
  • nb_vote(c3) = 200;
  • nb_vote(c4) = 100;

Dans cet exemple, si on suit la logique du scrutin uninominal majoritaire, la victoire revient à c1 car il comptabilise 45% des voies. Cependant si on calcule la somme des votes des perdants, c’est à dire nb_vote(c2) + nb_vote(c3) + nb_vote(c2) on obtient 550 soit 55% des votes. Donc 55% des électeurs se trouvent dans l’opposition.
Le résultat serait pire encore s’il y avait plus de cinq candidats pour 1000 électeurs car plus il y a de candidat, plus les votes se dispersent et moins chaque candidat pourra comptabiliser un grand nombre de votes. Et le vainqueur représentera de moins en moins les votants.

« Ce fut le cas par exemple en 1993 au Venezuela, alors que Rafael Caldera a été élu à la présidence avec 30,5 % des suffrages exprimés. Il en fut de même aux élections de mai 1992, où Fidel Ramos, le président de la République des Philippines, a été élu, dans une lutte qui l'opposait à six autres candidats, avec seulement 24 % des suffrages exprimés. » source Wikipédia.

Textes : Le résultat d’une élection ne dépend pas seulement du nombre d’électeurs qui votent pour tel ou tel candidat, il dépend aussi de la formule qu’on utilise pour traduire un nombre de votes en nombre d’élus, c’est ce qu’on appelle un « mode de scrutin ». Celui que nous utilisons au Canada pour élire la Chambre des communes est uninominal et pluralitaire. «Uninominal » signifie que le territoire du pays est divisé en autant de circonscriptions qu’il y a de députés à élire, et que chaque circonscription élit un seul député. « Pluralitaire » signifie que le candidat qui obtient le plus grand nombre de voix est élu. En français on parle souvent d’un système « uninominal majoritaire à un tour », parce qu’il existe en France un mode de scrutin uninominal à deux tours, qui oblige presque tous les électeurs à voter deux fois, à une ou deux semaines d’intervalle. Au Canada nous votons en une seule fois, notre mode de scrutin est donc « à un tour ». Mais il n’est pas vraiment « majoritaire », puisqu’il n’est pas nécessaire d’avoir plus de la moitié1 des voix pour être élu, il suffit d’avoir plus de voix que n’importe quel autre candidat, ce qu’on appelle parfois une « majorité relative », ou une « pluralité ».

Un meilleur système électoral pour le Canada - page 5

Le scrutin uninominal majoritaire à deux tours

Nous avons vus précédemment en quoi le scrutin uninominal majoritaire à un tour pouvait poser problème. Seulement en France, ce scrutin comporte plusieurs tours. Pour chaque tour de scrutin, les règles électorales prévoient des conditions pour être élu (majorité absolue, qualifiée, ou relative), et, dans le cas où elles ne sont pas remplies, les conditions pour se maintenir au tour suivant (en terme de rang, de part des suffrages exprimés, ou de part des électeurs inscrits). Les règles électorales prévoient souvent un nombre limité de tours de scrutin : lors du dernier tour, le candidat arrivé en tête est élu. D'autres systèmes uninominaux majoritaires, dits à préférences multiples ordonnées, reposent sur le classement des candidats. Différents procédés, que nous ne détaillerons pas dans l’article, permettent ensuite de déterminer le vainqueur (ex : la méthode Borda).

Le scrutin uninominal majoritaire à deux tours est un vote simple sans pondération se déroulant sur deux tours au maximum:

  1. Au premier tour, l'électeur doit choisir un candidat parmi plusieurs. On compte alors le nombre de voix obtenues pour chaque candidat. Si un candidat recueille la majorité absolue (plus de 50 % des suffrages exprimés et au moins le quart du nombre des électeurs inscrits), il est élu. Sinon, on organise un second tour, généralement une ou plusieurs semaines plus tard, avec un nombre plus réduit de candidats.
  2. Au deuxième tour, les deux candidats se trouvant avoir recueillis le plus grand nombre de suffrages au premier tour sont sélectionnés. Soit C le groupe représentant l’ensemble des candidats | C| = n où n est le nombre de candidats à une élection. N le nombre total de voix et N’ le nombre des électeurs inscrits.

Premier tour:
Prenons α un élément de C, α est élu vainqueur du premier tour si:
- nb_vote(α) > N * 50%
- nb_vote(α) > N’ *25%
(où nb_vote représente le nombre de vote des électeurs pour un candidat donné).
sinon deuxième tour:
x, y ∈ C | {
nb_vote(x) pour tout α dans C{x},
nb_vote(x) > nb_vote(α)
nb_vote(y) pour tout α dans C{x, y},
nb_vote(y) > nb_vote(α)
}
constitue le deuxième tour entre x et y.

Là encore un problème peut être soulevé. En effet, nous prenons les deux candidats ayant obtenus le plus de voies au premier tour. Seulement, rien ne peut nous assurer que le vainqueur aurait gagné s’il s’était retrouvé face à un autre candidat. Reprenons les résultats de l’exemple précédent : nb_vote(c1) = 450;
nb_vote(c2) = 250;
nb_vote(c3) = 200;
nb_vote(c4) = 100.

Ici le second tour se fera donc entre c1 et c2. Supposons que les votes au deuxième tour soient répartis tels quels :
nb_vote(c1) = 470;
nb_vote(c2) = 530.

Cela soulève non seulement à nouveau le problème du scrutin uninominal majoritaire à un tour qui aurait élu c1 mais il pose un nouveau problème : c2 aurait-il gagné face à c3 ?
En effet, c3 n’ayant pas obtenu assez de votes au premier tour, il se retrouve éliminé. Seulement, si les électeurs des autres candidats s’étaient tous ralliés pour voter pour lui au second tour, c’est lui qui aurait été élu. Dans ce cas, comment déterminer le réel vainqueur ? Nous verrons ça un peu plus tard dans l’article.

Le scrutin proportionnel plurinominal (ou vote préférentiel)

Il existe de nombreux pays, d’Europe notamment, où le scrutin uninominal majoritaire n’est pas utilisé. En effet, en Autriche, en Belgique ou encore au Danemark, on utilise le scrutin proportionnel plurinominal. Dans cette partie, nous allons étudier un de ses modes opératoires : le vote préférentiel.

En quoi celui-ci consiste-t-il ? Au lieu de voter pour un candidat, les électeurs votent pour un parti parmi une liste finie. Dans certains cas, ils peuvent aussi voter pour un candidat parmi les candidats du parti qu’ils ont choisi. Par la suite, on distribue les sièges du gouvernement proportionnellement au nombre de votes qu’a obtenu chaque parti. Cette méthode peut paraître plus juste que celles vues auparavant de prime abord étant donné qu’on aura une meilleure représentation du choix de chaque électeur. De plus, la diversité d’opinions dans un gouvernement le rend plus démocratique.

Nous allons désormais voir comment les sièges sont répartis parmi les partis, la proportionnalité ne pouvant pas être respectée à cent pour cent (on ne peut pas donner le quart d’un siège à un parti et les trois quarts restants à un autre). Il existe différentes méthodes permettant la répartition des sièges. La plus utilisée est la méthode de la plus forte moyenne. Celle-ci consiste en deux étapes.

1ère étape:
On calcule le quotient électoral de chaque parti en multipliant le nombre de votes qu’il a obtenu par le nombre de sièges. On divise ensuite le quotient électoral du parti par le nombre de votes total. On note ce résultat V. On attribue ensuite V sièges au parti (arrondi à l’unité inférieure).

2ème étape:
Cette étape consiste en la répartition des sièges restants. En effet, étant donné que nous avons arrondi chaque résultat obtenu à la première étape à l’unité inférieure, dans la plupart des cas, il reste encore des sièges.
On effectue donc le calcul suivant:
MOY = nb_votes/(nb_sièges_attribués + 1) où nb_votes représente le nombre de votes qu’a obtenu le parti et nb_sièges_attribués, le nombre de sièges qu’on lui a attribué.
On compare la moyenne obtenue par chaque liste et on attribue un siège au parti qui a la moyenne la plus élevée. On répète le processus jusqu’à ce qu’il n’y ait plus aucun siège restant.

Exemple:
Prenons les partis A, B et C et cent électeurs. On définit le nombre total de sièges par nb_sièges = 16. Aux dernières élections, les résultats suivants ont été donné :
nb_vote(A) = 56
nb_vote(B) = 24
nb_vote(C) = 20

On calcule d’abord le quotient électoral Q de chaque parti :
Q(A) = 56 * 16 = 896
Q(B) = 24 * 16 = 384
Q(C) = 20 * 16 = 320

Puis on calcule le nombre de sièges qu’on attribue dans un premier temps à chaque parti :
nb_sieges_attribuées(A) = Q(A)/100 ≃ 8,9 ≃ 8
nb_sieges_attribuées(B) = Q(B)/100 ≃ 3,8 ≃ 3
nb_sieges_attribuées(C) = Q(C)/100 ≃ 3,2 ≃ 3
nb_sieges_restants = 16 - (8 + 3 + 3) = 2

On calcule donc la moyenne pour chacun des partis:
MOY(A) = 56/(8+1) ≃ 6,22 ; MOY(B) = 24/(3+1) ≃ 6 ; MOY(C) = 20/(3+1) ≃ 5

Le parti A a la moyenne plus haute, il récupère donc un siège de plus. On réitère le processus pour chaque siège restant jusqu’à ne plus avoir de sièges libres et on obtient:
nb_sieges_attribuées(A) = 9 (56,25% des sièges contre 56% des votes)
nb_sieges_attribuées(B) = 4 (25% des sièges contre 24% des votes)
nb_sieges_attribuées(C) = 3 (18,75% des sièges contre 20% des votes)
On peut donc admettre que cette méthode respecte de façon plutôt correcte les votes de la population quant à la répartition des sièges. Ce n’est pas forcément le cas d’autres méthodes utilisées pour répartir les sièges qui ne figureront pas dans l'article.

Le critère de Condorcet

Dans cette dernière partie, nous allons présenter en quoi consiste le critère de Condorcet et pourquoi il est difficile de le vérifier avec les méthodes présentées auparavant. Nicolas de Condorcet est un mathématicien Français du XVIIIe siècle étant notamment réputé pour ses travaux sur les probabilités et les systèmes de votes. Le critère de Condorcet consiste en la chose suivante:

Lors d’une élection parmi plusieurs candidats, il existe un vainqueur de Condorcet lorsque l’un des candidats gagne face à chacun de ses adversaires.

On peut représenter cela sous la forme d’un graphe orienté valué complet où chaque candidat constituerait un sommet et chaque arrête pointerait vers le candidat gagnant entre les deux sommets qu’elle relie.

Ce critère implique que l'électeur ait donné ses préférences parmi les candidats pour lesquels il n'a pas voté, ce qui n'est pas le cas dans les scrutins vus plus haut. Le fait de répondre sur un bulletin de vote le candidat qu'on préfère à tous les duels possibles entre les différents candidats s'appelle la méthode de Condorcet. Il pourrait s'agir d'une alternative aux scrutins proposés actuellement dans nos démocraties, seulement on peut rapidement se rendre compte qu'elle serait difficile à mettre en place. En effet, pour seulement cinq candidats, il faudrait répondre à quinze duels ce qui prendrait un certain temps pour l'électeur. Cela serait encore plus long s'il y avait dix ou quinze candidats se présentant aux élections (ce qui est régulièrement le cas).

Ci-dessous, vous trouverez un programme utilisant des données générées aléatoirement et désignant le vainqueur en fonction de la méthode utilisée (scrutin uninominal majoritaire à un tour, scrutin uninominal majoritaire à deux tours, scrutin proportionnel plurinominal). Nous pouvons ainsi voir que les différents scrutins ne désignent pas le même vainqueur.

Comme nous avons pu le voir dans cet article, le systèmes de votes parfait n’existe pas, ou plutôt, il serait trop difficile à mettre en place dans nos sociétés actuelles. Cependant, grâce aux recherches de Nicolas de Condorcet et à de nombreux autres mathématiciens, nous savons quels problèmes nos scrutins soulèvent et lesquels sont les plus problématiques. Le scrutin uninominal majoritaire reste le plus utilisé à ce jour, étant un des plus simples à mettre en place et paraissant juste de façon intuitive (même si c’est en réalité loin d’être le cas). Des chercheurs travaillent encore afin de trouver le système de votes qui rendra le plus justice aux électeurs même si nous doutons du fait qu’il puisse un jour être mis en place.

Ressources :

  1. http://www.alloprof.qc.ca/bv/pages/m1415.aspx#majorite
  2. https://fr.wikipedia.org/wiki/Scrutin_uninominal_majoritaire_à_un_tour Un meilleur système électoral pour le Canada / A Better Electoral System for Canada ; Auteur : Jean-Pierre Derriennic ; Parution: 1 avril 2016
  3. https://fr.wikipedia.org/wiki/Scrutin_majoritaire
  4. https://www.electoral-reform.org.uk/voting-systems/types-of-voting-system/two-round -system/
  5. https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89lection_pr%C3%A9sidentielle_fran%C3%A7aise _de_2002 Scrutin proportionnelle pluri nominal, Wikipedia Méthode par apparentement, Wikipédia
  6. https://droit-finances.commentcamarche.com/faq/31103-proportionnelle-a-la-plus-forte-moyennedefinition Nicolas de Condorcet, Wikipedia Methode de Condorcet, Wikipedia
  7. http://images.math.cnrs.fr/Et-le-vainqueur-du-second-tour-est.html
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