Une Mélodie mathématique: La Permutation Des Cloches

Dans notre article nous allons nous intéresser à l'aspect mathématique du Change Ringing en interprétant notamment cette pratique en graphes et en différents ensembles.

Qu'es ce que le Change Ringing ?

The Change Ringing est un art pratiqué au Royaume-Uni par les sonneurs de cloches depuis XVII ème siècle: pour certain cela n'est qu'une coutume ancestrale incomprise... Mais pour nous, cela représente une mélodie de l'algèbre ! Voici un petit extrait audio pour mieux comprendre de quoi il s'agit:

Cette mélodie est obtenue à partir de six cloches qu'on fais sonner une à une avec une variation: l'ordre de passage.
Dans cette article nous allons nous intéresser à la permutation des cloches en s'appuyant sur la Théorie des Ensembles et des Graphes vues en cours afin d'expliquer cette pratique.


Des cloches et des maths !

Le problème mathématique du Change Ringing est de faire sonner toutes les combinaisons possibles des n cloches qui correspondent aux
n! (=1 ⅹ 2 ⅹ .... ⅹ n ) permutations possibles, tout en remplissant ces conditions:

  1. Les début des permutations et la fin son les mêmes 1 2 3 ...n (On appelle cela un tour);
  2. Aucune combinaison ne doit être répétée;
  3. Chaque cloche peut permuter avec une autre cloche par au plus une position.

Pour mieux comprendre, essayons avec la séquence la plus basic qui est composée de 3 cloches:
Comme on peut le constater nous avons 7 combinaisons qui remplissent bien les conditions.
Pour passer d'une combinaison à une autre, nous pouvons permuter les deux premières positions puis les deux dernières: ce procédé est appelé "Slow Six".
Nous avons aussi une deuxième manière de faire: d'abord permuter les deux dernières cloches puis les deux premières nous obtenons donc les mêmes lignes mais dans l'ordre inverse et c'est ce qu'on appelle:"Quick Six".

Mathématiquement, qu'es-ce qu'une permutation ?

Une permutation d'un ensemble S𝑛 est une fonction f:{1,2,....,n}→{1,2,....,n}.
Graphiquement parlant cela représente un circuit.

Par exemple pour n=3 nous avons un graphe cycle connexe non-orienté C𝑛 2-régulier à 6 sommets.
Chaque sommet est une combinaison, et chaque arête est une permutation.
Ce graphe est aussi appelé le Diagramme de Cayley.


---- Permutations avec la méthode Quick Six.
___ Permutations avec la méthode Slow Six.


Pour toutes permutation de n cloches avec n>3, nous devons procéder selon une méthode bien précise afin de sonner toutes les combinaisons de cloches possibles, l'une d'entre elles est la méthode "Plain Bob".


Qu'es-ce qu'une méthode ?

Une méthode est une liste de permutation pi, qui appliquées une par une à la combinaison initiale c₁, nous obtenons c𝒋₊₁ = p𝒋 𝑜 c𝒋 .

La méthode Plain Hunt consiste à échanger les positions de la première paire et les positions de la deuxième paire simultanément, ou bien la pair du milieu toute seule.

Donc pour résumer pour passer d'une combinaison c₁= 1 2 3 4 à la combinaison suivante c₂= 2 1 4 3 il faut appliquer une permutation p₁= (1 2) (3 4)﹡
tel que: c₂ = p₁ o c₁, puis de c₂ à c₃ nous appliquons p₂= (2 3)﹡﹡, tel que : c₃ = p₂ o c₂, ainsi de suite jusqu'à avoir toutes les combinaisons possibles.

﹡: échanger la cloche à la position 1 avec la cloche à la position 2 et échanger la cloche à la position 3 avec la cloche à la position 4.
﹡﹡: échanger la cloche à la position 2 avec la cloche à la position 3.

Comme on peut le constater, avec la méthode Plain Hunt nous obtenons qu'une partie de toutes les combinaisons possibles sans aucune répétition. Cette partie 𝜎₁ correspond à un groupe théorique avec exactement les mêmes propriétés: Le Cycle Hamiltonien.

Qu'es ce qu'un cycle Hamiltonien?

En mathématiques, dans le cadre de la théorie des graphes, un chemin hamiltonien d'un graphe orienté ou non orienté est un chemin qui passe par tous les sommets une fois et une seule. Un cycle hamiltonien est un chemin hamiltonien qui est un cycle. Un graphe hamiltonien est un graphe qui possède un cycle hamiltonien.

_____: échange des paires du coté
-----: échange de la pairs du milieu
Graphe Hamiltonien qui correspond à la méthode plain Hunt sur 4 cloches


Afin d'obtenir toute les partie σ₁, σ₂, σ₃,.....,σ𝑛 nous appliquons la méthode de Plain Bob Minimum(car sur 4 cloches) qui consiste à échanger la dernière paire à la position (3 4) au lieu d'effectuer la permutation de la pair du milieu.

En vert nous avons la permutation (3 4) qui nous permet de passer de la partie σ₁ à σ₂
source:https://www.youtube.com/watch?v=f5GmUxl2NaU&t=456s

Toutes les combinaisons du Change Ringing avec quatre cloches correspondent avec l'ensemble des symétries d'un carré. En voici les premières.

Symétries du carré





"L'art de l'échange est une coutume anglaise et, comme toute coutume anglaise, il est incompréhensible pour le reste du monde."

Passage du livre: Bell-Ringing: The English Art of Change Ringing


Nous arrivons à la fin de notre article, j'espère nous auront pu plus éclairer votre lanterne sur l'art du change ringing.
Maintenant que nous avons bien compris quelles sont ses condition et ses méthodes nous pouvons nous prétendre anglais !


Références:

  1. Change Ringing: The Beautiful Intersection Between Math and Music, featuring Emily Russell https:
    //www.youtube.com/watch?v=f5GmUxl2NaU&t=456s
  2. Article Wikipédia: Graphe Hamiltonien
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Graphe_hamiltonien
  3. Mathematical Impressions: Change Ringing
    https://www.simonsfoundation.org/2014/02/03/mathematical-impressions-change-ringing/
  4. White, Arthur T. “Ringing the Cosets.” The American Mathematical Monthly, vol. 94, no. 8, 1987, pp. 721–746. JSTOR, http://www.jstor.org/stable/2323414
  5. Nowosielski, Danica A. “Change Ringing: A Connection Between Mathematics and Music.” Pi Mu Epsilon Journal, vol. 10, no. 7, 1997, pp. 532–539. JSTOR,
    http://www.jstor.org/stable/24340431
  6. Why Bell Ringing ?
    http://www.universityringing.org/bell-ringing/
  7. An Application of Group Theory to Change Ringing, Taylor & Francis, Michele Intermont, and Aileen Murphy. “An Application of Group Theory to Change Ringing.” The College Mathematics Journal, vol. 42, no. 3, 2011, pp. 223–228. JSTOR,
    http://www.jstor.org/stable/10.4169/college.math.j.42.3.223
  8. B. D. Price. “Mathematical Groups in Campanology.” The Mathematical Gazette, vol. 53, no. 384, 1969, pp. 129–133. JSTOR,
    http://www.jstor.org/stable/3614536
  9. Lin, Michael H. “RINGS OF SMALL ORDER.” Pi Mu Epsilon Journal, vol. 9, no. 6, 1992, pp. 356–360. JSTOR,
    http://www.jstor.org/stable/24340241
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