Planche de Galton

Présentation de la Planche de Galton et de la loi binomial.

La planche de Galton, c'est quoi ?

Le fonctionnement de la planche de Galton, aussi appelée machine de Galton ou Bean Machine en anglais, est simple. Elle est seulement constituée d'une planche, de billes, de clous et de réservoirs pour contenir les billes. Les clous sont fixés de manière à former un triangle isocèle, qui pointe vers le haut, sur une planche. Il y a entre chaque clou un intervalle de telle façon qu'une bille puisse tomber en rencontrant un clou à chaque étape de sa chute en ayant la même chance de tomber à droite qu'à gauche. Enfin, il a des bacs de récupération en dessous de chaque sortie potentielle pour contenir les billes. Cette expérience est d'autant plus efficace lorsque le nombre de billes est grand.

Au début de l'expérience, un grand nombre de billes sont placées en haut de la planche. Il faut ensuite faire tomber les billes, en basculant la planche vers le bas. Le résultat de l'expérience est ensuite observable en regardant la répartition des billes dans les différents bacs.

Planche de Galton, avant renversement

À votre avis, quel est le résultat de cette expérience ?

  • Répartition équivalente des billes dans les bacs.
  • Plus de billes aux extrémités de la planche.
  • Plus de billes au centre de la planche.

La réponse est la dernière : les billes vont formées une courbe au centre ! Pour vous le prouver, nous allons introduire la loi binomiale. En effet, cette expérience est une parfaite illustration de cette loi.

Avant de rentrer dans le sujet, nous allons d'abord présenter son inventeur.

Qui est Galton ?

La planche de Galton doit son nom à son inventeur éponyme, Sir Francis Galton.

F. Galton fut un brillant scientifique anglais ayant vécu pendant le 19e siècle. Il s'intéressa au long de sa carrière à de très nombreux domaines tels que la biologie, la psychologie, la géographie, la météorologie et bien sûr les mathématiques. Parmi ses découvertes et inventions, on peut citer : les anticyclones, les ultrasons et l'identification des individus avec les empreintes digitales. Il dédia plusieurs années de recherche aux probabilités et fut le premier à faire un lien entre la sélection naturelle et les mathématiques. Il était comme son demi-cousin Charles Darwin, un défenseur de la théorie de l'évolution. Il fut aussi fondateur de la biométrie et de l'eugénisme.

Sir Francis Galton, 1822 - 1911, Scientifique britannique

Les mathématiques derrière...

Maintenant la planche présenté, nous allons nous intéresser aux mathématiques derrière la planche de Galton :

Une des propriétés de la planche de Galton est la suivante. Une fois la bille lâchée, la bille va rencontrer un certain nombre de rangées de clous. À chaque fois qu'une bille passe une rangée, elle doit systématiquement toucher un clou. Alors, un "choix" s'offre à elle. Elle peut aller soit à droite, soit à gauche. Pour que la planche soit valide, il faut aussi que la bille ait autant de chance d'aller d'un côté ou de l'autre, c'est-à-dire : 0,5.

La réfléxion la plus naïve serait de dire que l'on a 1/2 de tomber sur un clou de la 2ème rangée puis 1/3 à la 3ème, 1/4 à la 4ème... etc

Mais non ! Et là est tout l’intérêt de notre planche. En effet, chaque clou n'a pas les mêmes chances d'être atteints, car ils peuvent être accédés à partir du clou en haut à droite, mais aussi du clou en haut à gauche. Cela complique donc les choses pour calculer la probabilité de passer par chaque clou...

On peut voir le problème autrement : si on veut la probabilité pour atteindre un certain clou, il faut calculer le nombre de chemins possibles pour y arriver. La probabilité d'obtenir chaque chemin est égal entre tous les chemins, on peut donc avoir la probabilité d'arriver sur un certain clou avec cette méthode.

Exemple ci-dessous : le parcours de la bille est représenté par un arbre où chaque clou est représenté par un nœud et chaque nœud est relié avec le ou les autres nœuds par lequel il peut être accédé. Prenons l'avant-dernier clou en partant de gauche sur la dernière rangée. On peut voir qu'il a 4 chances sur 16, soit 1 / 4 chance d'être accéder.

4 correspond au nombre de chemins possibles pour atteindre ce nœud . 16 correspond à la somme de tout les chemins possibles.

On peut donc voir ici, tout les chemins possibles pour atteindre notre nœud / clou.

Cet arbre a d'ailleurs une propriété assez spéciale, c'est que pour obtenir le nombre de possibilité pour atteindre un nœud, il suffit d'additionner les nombre de possibilité d'être atteint des deux parents.

Par exemple pour notre nœud, il a 4 chances d'être atteint car ses parents ont 1 et 3 chances.

C'est la propriété du triangle de Pascal. Nous verrons plus tard pourquoi et comment cette propriété peut nous être utile pour calculer le coefficient binomial.

Mais la loi binomiale alors ?

En effet, nous vous avions pourtant dit que la planche de Galton avait été créé pour illustrer la loi binomiale, pas le Triangle de Pascal. Pas de panique. D'abord, on retrouve notre coefficient binomial, obtenu avec le triangle de Pascal, dans la formule de la loi binomiale (voir plus bas). Ensuite, nous allons voir ce qu'est la loi binomial et pourquoi elle s'exprime ici.

Définition : la loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de la répétition indépendante de plusieurs expériences aléatoires identiques. Elle est décrite par deux paramètres : p et n.

Formule de la loi binomiale.

Plus concrètement, on peut dire que la formule sert à obtenir un X, tel que X soit le nombre de succès lors de la répétition n fois, d'un l’événement indépendant ayant une probabilité de succès p. On utilise très souvent le lancer de pièce comme exemple mais si on lance une pièce 10 fois en pariant qu'elle fera "face", on a : - n = 10, car on a 10 lancers, soit 10 événements. - p = 0,5, car on a 1 chance sur 2 d'obtenir "face", la pièce est dite équilibrée .

Et X sera le nombre pour lequel on veut obtenir la probabilité. Donc si on veut savoir la probabilité d'obtenir à chaque fois face, soit X = n = 10, et bien on pose :

La probabilité donc d'obtenir 10 fois "face" est de 1 / 2048 soit environ 0,001. Si on applique cette formule à chaque tout les k ∈ [0; 10] alors on obtient ce graphe :

Voyons maintenant le rapport avec la planche de Galton. D'abord on peut voir que la planche de Galton respecte les propriétés de la loi binomiale. Le nombre n d'événements est le nombre de fois où la bille va toucher un clou. Chaque événement est bien indépendant, car que la bille peut bien aller à droite ou à gauche sans que son chemin n'influence la probabilité (c'est vrai par définition). On considère que l'événement considéré comme un succès est "la bille va à droite". La probabilité de p est donc de 0,5. Enfin, chaque bacs représentent un X par ordre croissant (la bac le plus à gauche signifie que l'on obtient aucun succès et le bac le plus à droite que l'on obtient seulement des succès).

A chaque bille, la bille la loi s'applique, et avec un grand nombre de billes, on peut donc voir une courbe se former, la courbe de la loi binomial :

Courbes de la loi binomiale en avec des différents paramètres n et p

Ainsi, nous avons obtenu avec une planche, des clous et des billes, une illustration de la loi binomiale !

La planche de Galton après renversement

Un processing pour illustrer

Pour mieux comprendre la planche nous avons choisi de faire un processing de la planche de Galton :

Notes

À chaque étape, une bille tombe et rencontre un clou, puis arrivée en bas, elle va se stocker dans un des réservoirs. L'animation va se relancer dès qu'un réservoir est plein. L'aléatoire est qu'à chaque fois qu'un clou est rencontré par la balle, on génère un entier aléatoire entre 0 et 1. Si on a 0, la balle va à gauche, sinon, à droite. On peut mettre en pause l'animation en cliquant dessus. Si vous trouvez l'animation trop rapide, changez la toute première variable speed pour un entier entre 1 et 100. Les clous et les réservoirs ont été placés comme sur la planche de Galton comme montré plus haut.

Voir les commentaires du code pour plus précisions.

Sources

- Images (dans l'ordre) :

upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Tabuleiros_de_Galton_%28antes_e_depois%29.jpg/1280px-Tabuleiros_de_Galton_%28antes_e_depois%29.jpg
galton.org/photos/GraefCrop.jpg
upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Pascal%27s_Triangle_4_paths.svg/1920px-Pascal%27s_Triangle_4_paths.svg.png
(Formules) Faites nous même avec Latex, puis avec des sites webs de constructions d'image à partir du code.
www.dummies.com/wp-content/uploads/460747.image0.jpg
cpntools.org/wp-content/uploads/2018/01/binomial.gif
upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Tabuleiros_de_Galton_%28antes_e_depois%29.jpg/1280px-Tabuleiros_de_Galton_%28antes_e_depois%29.jpg

- Recherches :

en.wikipedia.org/wiki/Francis_Galton
en.wikipedia.org/wiki/Bean_machine
www.youtube.com/watch?v=A-zopUlVzIY
www.biography.com/scientist/francis-galton
therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/galton.htm
ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/divers/galton.html
fr.wikipedia.org/wiki/Triangle_de_Pascal
www.youtube.com/watch?v=TAi7LqmGtmY
quicklatex.com/
fr.wikibooks.org/wiki/LaTeX/%C3%89crire_des_math%C3%A9matiques
www.dummies.com/education/math/business-statistics/how-to-graph-the-binomial-distribution/
www.youtube.com/user/shiffman
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