L’origami

L'origami est l'art du pliage du papier. Le mot origami vient du japonais, oru qui signifie « plier », et kami signifie « papier », qui lui même est originaire de Chine (折纸). La feuille d'origami est en général de forme carrée. Les différentes formes sont obtenues par pliages successifs, et il ne faut en principe pas découper la feuille.

Les pliages d'origamis sont utilisés en mathématiques pour réaliser des constructions géométriques.

Les plis permettent de former des arêtes et des sommets. Chaque pli crée une arête et les arêtes se rejoignent en un point qui correspond à un sommet. Une fois dépliée, la figure est un graphe planaire. En effet, à chaque croisement on a un sommet. On appelle cela un modèle de pli.

Nous allons expliquer les différents axiomes qui montrent que l'origami peut être représenté sous forme de graphe.

Pour cela nous allons en premier lieu aborder les axiomes, puis les démontrer.

Les différents axiomes

La principale question au sujet des modèles de pli est de savoir s'ils peuvent être plié en des modèles plats, c'est-à-dire si les origamis obtenus à la fin peuvent être mis à plat, et si oui, comment les plier. Il s’agit d’un problème NP-complet.

Il existe plusieurs règles mathématiques pour produire des motifs de plis d’origami plats et pliables, que nous allons vous expliquer.

la loi de la 2-colorabilite

Lorsque l'on parle de colorabilité et plus précisément de 2-colorabilité dans les graphes on pense au coloriage des sommets, autrement dit aux graphes bipartis. Cela n'est pas possible ici car on ne peut pas partitionner l'ensemble des sommets du graphe. C'est la raison pour laquelle cette loi fait référence aux faces.

Le principe est simple il suffit de prendre une couleur et de colorier chaque faces de sorte à ne jamais avoir deux faces adjacentes blanches ou coloriées, comme on peut le voir dans les exemples ci-dessous.

On remarque une fois colorié et replié que l'origami est colorié d'un côté et blanc de l'autre.

le théorème de Maekawa

Le théorème de Maekawa utilise le fait qu'un pli soit un mont ou une vallée. La manière la plus simple de représenter ce qu'est un mont ou une vallée est de s'imaginer un pli qui ressemble à une montagne pour le premier, et un pli qui ressemble à une vallée pour le deuxième.

Le principe de ce théorème est que l'on calcule à chaque sommet la différence entre le nombre d'arêtes qui représentent les monts et le nombre d'arêtes qui représentent les vallées. Cette différence vaut 2 à chaque sommet.

le théorème de Kawasaki

Ce théorème est plutôt simple à comprendre, si on prend un sommet et qu'on numérote en cercle ses faces adjacentes, on remarque que la somme des angles des faces paires vaut toujours 180°, de même pour les faces impaires, ainsi que pour tous les sommets d'un origami. On remarque aussi que les faces de même couleur ont la même parité.

la loi des pliages

Cette loi nous explique, qu'une fois l'origami formé, si on observe comment les couches se superposent, on remarque que peu importe où on empile les plis et les feuilles, une feuille ne pénétrera jamais un pli. C'est-à-dire que dans un pli, il ne pourra y avoir qu'un autre pli ou rien.

Démonstration des 3 premiers axiomes

la loi de la 2-colorabilite

Afin de démontrer la 2-colorabilité du graphe, nous allons raisonner par récurrence sur l'aspect géométrique.

Initialisation

Si n est le nombre de droites avec n=1, il existe deux régions séparées par une droite, on peut donc affirmer que 2 couleurs sont nécessaires et suffisantes.

Hérédité

Supposons la propriété vraie au rang n, n ∈ ℕ, n ⩾ 2. Montrons que la propriété reste vraie pour n+1 droites.

Je décide d'ajouter la n+1 droite représentée ici par la droite noire qui coupe le plan.

Un problème se pose sur la partie de gauche du plan, deux régions voisines ont la même couleur. On va donc procéder à une inversion des couleur dans cette partie du plan.

On remarque qu'en ajoutant une droite, on peut utiliser uniquement deux couleurs. Lors de l'ajout de la droite supplémentaire qui coupe en deux des parties de même couleur, on se retrouve donc avec un mauvais coloriage car deux zones voisines sont de la même couleur. Il suffit d'inverser les couleurs dans cette zone.

Conclusion

La propriété est donc vrai pour n droite et héréditaire car à l'ajout d'une droite supplémentaire il suffit d'inverser la première couleur avec la deuxième.

le théorème de Maekawa

Montrons ici que la différence entre le nombre de vallées et de monts diffère de 2.

On sait que la somme de tous les angles d'un polygone est 360° ou

(1)   \begin{equation*}  \sum_{k=1}^{n} { \alpha_k = 2 \Pi} \end{equation*}

Ici on considère que la rotation d'un pli vallée est de \Pi et la rotation d'un pli mont est -\Pi.

On peut donc noter:

(2)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n} { \alpha_k = |\Pi V + (-\Pi)M |} \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} \Longrightarrow  \sum_{k=1}^{n} { \alpha_k = |\Pi (V - M) |} \end{equation*}

or on a (1)

(4)   \begin{equation*} \Longrightarrow 2\Pi = |\Pi (V - M) | \end{equation*}

(5)   \begin{equation*} \Longrightarrow  | V - M | = \frac { 2\Pi }{\Pi} = 2 \end{equation*}

le théorème de Kawasaki

Montrons que

(6)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n} { \alpha_{2k} = 180} \end{equation*}

(7)   \begin{equation*}(et \sum _{k=0}^{n-1} {\alpha_{2k+1} = 180}) \end{equation*}

Initialisation

La somme des angle d'un polygone est de 360°

(8)   \begin{equation*} \Longrightarrow  \sum_{k=1}^{n} { \alpha_k = 360} \end{equation*}

si n = 2:

(9)   \begin{equation*}\alpha_1 + \alpha_2 = 360 \Longrightarrow  \alpha_2 = 360 - \alpha_1 \end{equation*}

or on a (7)

(10)   \begin{equation*}\alpha_2 = 360 - 180 \Longrightarrow  \alpha_2 = 180 \end{equation*}

La propriété est initialisée.

Hérédité

On suppose que la propriété est vraie au rang n, n ∈ ℕ donc

(11)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n} { \alpha_{2k} = 180}      (et \sum _{k=0}^{n-1} {\alpha_{2k+1} = 180})  \end{equation*}

Montrons que la propriété est vraie au rang n+2, n ∈ ℕ , soit

(12)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n+1} { \alpha_{2k} = 180}       (et \sum _{k=0}^{n} {\alpha_{2k+1} = 180})  \end{equation*}

(13)   \begin{equation*}  \sum_{k=1}^{n+1} { \alpha_{2k}}  -  \sum _{k=0}^{n} {\alpha_{2k+1}} = (  \sum_{k=1}^{n} { \alpha_{2k} + \alpha_{2n+2}}) -  (\sum_{k=0}^{n-1} { \alpha_{2k+1} + \alpha_{2n+1}} ) \end{equation*}

(14)   \begin{equation*}  =( \sum_{k=1}^{n} { \alpha_{2k}}  -  \sum _{k=0}^{n-1} {\alpha_{2k+1}}) + \alpha_{2n+2}} -  \alpha_{2n+1}} \end{equation*}

(15)   \begin{equation*}= \alpha_{2n+2} -  \alpha_{2n+1} \end{equation*}

(16)   \begin{equation*}  ( \sum_{k=1}^{n} { \alpha_{2k}}  -  \sum _{k=0}^{n-1} {\alpha_{2k+1}} = 0     \end{equation*}

d'après l'hypothèse de récurrence (6) (7))

On pose k = n+1, k ∈ ℕ

(17)   \begin{equation*} \alpha_{2n+2} -  \alpha_{2n+1} = \alpha_{2k} - \alpha_{2k-1} \end{equation*}

or 2k et 2k-1 sont deux nombres entiers consécutifs, donc l'un est pair et l'autre impair. Or d'après l'initialisation et l'hypothèse de récurrence, on peut conclure que

(18)   \begin{equation*}\alpha_{2k} - \alpha_{2k-1} = 0 \end{equation*}

soit

(19)   \begin{equation*}\alpha_{2k} = 180 \end{equation*}

et

(20)   \begin{equation*} \alpha_{2k-1} = 180 \end{equation*}

Conclusion

On peut donc en conclure que la propriété est vraie au rang n et héréditaire

La 2-colorabilité, le théorème de Maekawa et le théorème Kawasaki sont utiles pour représenter un origami sous la forme d'un graphe. Grâce à la loi des pliages, on peut optimiser l'espace. La NASA a par exemple consulté un expert en origami pour créer des satellites plus compactes et ainsi réduire leurs coûts d'envoi de ces satellites dans l'espace.

Exercice proposé

Origami - G2S14

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Bibliographie
  • https://origami.me/crease-pattern-theory/
  • https://courses.csail.mit.edu/6.849/fall10/lectures/L20_images.pdf
  • https://theconversation.com/origami-mathematics-in-creasing-33968
  • https://community.cadence.com/cadence_blogs_8/b/breakfast-bytes/posts/computational-origami
  • https://www.ted.com/talks/robert_lang_folds_way_new_origami#t-937378
  • https://www.generation-nt.com/panneaux-solaires-nasa-consulte-expert-origami-actualite-1828392.html
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