Les mathématiques des origamis

Hadded Sawssen, Miret Blanche, Shirlaw Alex

“Origami” est un mot japonais désignant l’art du pliage du papier, né en Chine au VIe siècle et apporté postérieurement au Japon, qui consiste à créer des formes à partir d’une unique feuille de papier, uniquement par pliages, sans ciseaux ou colle.

Les formes créées par origami se limitaient à l'origine à des schémas simples, évoluant peu à peu vers des designs plus complexes. Au 20e siècle Akira Yoshizawa, grand maître de l'origami, créa des dizaines de milliers de nouveaux designs, ainsi qu’un langage permettant de transmettre les instructions de construction : le code bien connu de points, traits et flèches décrivant les étapes de pliage. En parallèle, scientifiques et mathématiciens furent de plus en plus nombreux à s'intéresser à la discipline, caractérisant les schémas de pliages des sculptures par une série de règles et axiomes. Cette application de principes mathématiques à l'art du papier pour y découvrir des lois sous-jacentes permit la création de formes de plus en plus complexes, toujours avec une seule feuille de papier et des plis.

L’origami évolue autour de schémas de pliages, qu’on peut apparenter à un “plan de montage” ; c’est ce qui représente les plis utilisés dans l'objet final plié. Les plis vallées correspondent alors aux plis dont les côtés remontent, les plis montagnes sont les plis dont les côtés descendent. On peut représenter ce schéma de pliage par un graphe planaire dont les sommets sont les intersections des plis, et les arêtes les plis. Si l’on représente les plis montagne par une alternance de points et tirets, et les plis vallée par des tirets, on obtient par exemple ceci pour la célèbre forme de la grue :  

Schéma de pliage de la figure de la grue
Source : The Combinatorics of Flat Folds : a Survey, by Thomas C. Hull

Des axiomes pour caractériser les schémas

Pour créer un schéma de pliage effectivement pliable, les plis ne peuvent pas être dessinés de façon arbitraire et le graphe planaire correspondant est caractérisé par 4 axiomes :

  • Le graphe planaire représentant le schéma de pliage est 2-colorable :
  • A chaque sommet, le nombre de vallées (en rouge ici) et de monts (en bleus ici) diffère de 2 :
  • Si on numérote chaque face adjacente à un sommet, la somme des angles sur les faces impaires = 180 (de même pour la somme des angles sur les faces paires) :
  • Une feuille ne peut jamais pénétrer un pli.

Démonstrations des axiomes

En préambule, quelques notions introductives et précisions :

  1. Flat-folded origami vs 3D origami. Nous ne parlons ici que des origamis "plats", c'est à dire les figures pouvant être aplaties sans créer de nouveaux plis, sur lesquels se concentrent les mathématiques dédiés aux origamis.
  2. Dans les démonstrations, un "pli" désigne un pli effectué sur la figure complète, tandis qu'une "pliure" désigne une ligne sur le schéma de pliage.
  3. Les plis montagne et vallée s'inversent selon le côté de la feuille considéré, on suppose donc qu'on ne change pas de côté pendant une démonstration.
  4. Une propriété notable est qu’un pli sur le recto créant une arête vallée et un pli sur le verso créant une arête montagne produit le même résultat.
  5. Les arêtes se joignant au bord de la feuille ne sont pas des sommets.

Axiome 1

2-colorabilité du graphe planaire représentant le schéma de pliage.

On sait qu’un graphe planaire est un graphe tel qu’il en existe une représentation sans que les arêtes se croisent. Ici, nous avons défini que lorsque les plis se croisent, un sommet se forme. Donc impossible d’avoir deux arêtes qui se croisent, un graphe qui correspond a un pliage est  forcément planaire. Un graphe 2-coloriable est un graphe biparti, c’est a dire que pour G un graphe {V,E} G est biparti si et seulement si V = Vb U Vn tel qu’il existe Vb x Vn.


Ici un origami (Cœur). -> L'origami déplié.

Les lignes grises (les plis) correspondent aux arêtes et les "boules" aux sommets. Les couleurs montrent que le dépliage obtenu est biparti.

Le plus petit graphe biparti est le graphe a deux sommets.

Nous allons démontrer par récurrence (sur le nombre de sommets) qu’un graphe planaires correspondant a un pliage est 2-coloriable.

Supposons G biparti.

Pour n = 2 : 

On a pas de cycle de longueur impair.

résultat pliage avec 2 sommets

On a G {V,E} avec V = V1 U V2 tel que: couleur(V1) != couleur(V2).

Supposons que la proposition est vraie pour n. Alors V = Vb U Vc tel que b+c = n, avec pour tout V appartient a Vb alors couleur(Vb) = noir et pour tout V appartient a Vc alors couleur(Vc) = blanc.

Pour n+1: Supposons qu’on ajoute un sommet, il existe alors un cycle de longueur impair. Si couleur(V1) = noir alors couleur(V0) = blanc et couleur(V1+1) = noir = couleur(V1) => contradiction car on a supposé que le graphe est biparti. Donc a n+1, G ne possède pas de cycle de longueur impair. Dans ce cas, et d’après l’hypothèse de récurrence alors P(n+1) est vraie.

Axiome 2

A chaque sommet, le nombre de vallées et de monts diffère de 2

Les sommets apparaissent dans des cas bien précis où des arêtes/plis se coupent. Si on pli une “infinité” de fois parallèlement alors les plis ne vont jamais se croiser et donc ne jamais former de sommet.

Cependant le fait que les arêtes ne soient pas pas parallèles ne suffit pas pour former un pli car l’espace est fini et que le croisement de deux droites non parallèles peut se situer en dehors de la feuille. 

Donc il suffit que le point d’intersection des deux arêtes soit dans la feuille, c’est à dire que les plis se croisent.

Lorsque l'on crée une arête, on pli et on superpose une partie de la feuille sur le reste. Ainsi la surface diminue et on change la “formes” de la figure.

Cela a pour effet que la figure a maintenant 2 couches (une épaisseur de 2 feuilles) et qu'ils seront manipuler simultanément. 
Pour créer un sommet et donc une intersection entre deux arêtes, il faut que le second pli parte d’au moins un côté au préalablement créé, car ce dernier côté est un pli.

En créant ce point d’intersection on subdivise l’arrête en ajoutant un sommet. Ainsi on incrémente de 1 le type de ce pli. 

(subdivision : manipulation d'ajouter un sommet sur une arête pour la diviser en deux)

Lors de ce deuxième pliage, on plie à la fois deux épaisseurs de la feuille (qui correspondent au verso et au recto), simultanément dans le même sens. Ainsi lors de cette étape nous avons créé à la fois un pli vallée et un pli montagne. Ainsi le totale de pli vallée et de montagne augmente de respectivement de 1.

On a donc par étape, plier une première fois en créant une arête de type ‘A, incrémentant de 1 le total de ce type. Puis plier une seconde fois avec une extrémité du pli qui touche l’autre pli. Afin de créer un sommet à cette intersection. Ce sommet subdivise la première arête de type ‘A en deux, ce qui implique que le total de ce type s'incrémente de 1. De plus le deuxième pliage, pli à la fois "le verso et le recto" dans le même sens créant à la fois un pli de type ‘A et ‘B, incrémentant de 1 le total des deux types.

Donc pour une feuille vierge de pli, il faut plier 2 fois pour créer un sommet qui donnant trois arêtes de type ‘A et une arête de type ‘B. Ceci est notre cas de base. La propriété est donc vérifié pour le cas de base "création de sommet".

La propriété s'applique sur le nombre d'arête relié à ce sommet, on passe donc aux cas de récursion . Une fois le sommet crée les arêtes supplémentaire seront les plis qui inter-sectionnent le sommet directement.

On note:

  • |AnS| et |BnS| sont respectivement le nombre d’arête du type ‘A et ‘B qui inter-sectionnent le sommet S à la suite du pliage numéro n.
  • #AS et #BS désignent respectivement le nombre total d’arête du type ‘A et ‘B qui se croisent au sommet S.

Ainsi pour le cas de base n=1: |A1S| = 3 et |B1S| = 1. Donc #AS - #BS = 2. (n=1 car il a fallut faire 1 pli sur une arête déjà existante pour créer le sommet)

Récurrence: On suppose la propriété vraie pour le pliage n-1.

A chaque pli supplémentaire qui inter-sectionne un sommet existant cela crée deux arêtes respectivement de type ‘A et 'B multiplié par le nombre de'épaisseur pliée, noté F. Augmentant ainsi le total du type ‘A par F et le total du type ‘B par F.

|AnS| = |An-1S| + F,
|BnS| = |Bn-1S| + F.
Donc : #AS - #BS = |AnS| - |BnS|
= |An-1S| + F - (|Bn-1S| + F)
= |An-1S| - |Bn-1S|
= 2 (D’après l’hypothèse de récurrence)

Conclusion la propriété est vérifiée.

Axiome 3

En numérotant chaque face adjacente à un sommet, la somme des angles sur les faces impaires = 180. De même pour la somme des angles sur les faces paires.

Dit théorème de Kawasaki
Démonstration partielle du théorème pour un schéma de pliage à sommet unique

On distinguera deux types de plis :
- Les plis simples, ajoutant des pliures au schéma de pliage.
- Les plis supprimant des pliures en plus d'en ajouter.
Cette démonstration se place dans un contexte de figure à plis simples.

Admis : dans un pliage à sommet unique, un nouveau pli simple ajoute un nombre pair de pliures, symétriques à l'axe A0 du premier pli.

Démonstration par récurrence forte, sur le nombre de pliures du schéma de pliage :

P(n) : "Sur un schéma de pliage valide à n pliures, la somme des angles pairs est égal à 180, et de même pour les angles impairs.", avec n pair et n > 0.

Initialisation
n = 2
Le premier pli, provoquant deux pliures - l'axe A0 séparé par le sommet, sépare la feuille en deux angles de 180°. Donc P(2) est vraie.

Récurrence
Montrons P(n) en supposant P(k) vrai pour tout k <= n - 2, k pair.
Considérons un schéma de pliage à n pliures.

A0 est l’axe d’origine du schéma, la pliure du pli initial.
Les angles  a1, a2 … a6 sont les angles pairs, en violet.
Les angles a1’, a2’ … a6’ sont les angles impairs, en jaune.
Selon la symétrie à A0, pour tout i, ai = ai’.

Soient Sp(n) la somme des angles pairs et Si(n) la somme des angles impairs pour n pliures.
Sp(n) = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6
Si(n) = a1' + a2' + a3' + a4' + a5' + a6'

Retirer des pliures sur un schéma de pliage en conservant un schéma valide est possible en retirant un pli, c’est à dire un nombre pair de pliures symétriques à l’axe A0. Prenons l’exemple de PA et PB’ : en retirant ces deux pliures, l'angle a6 fusionne avec l'angle a5' et devient jaune, et l'angle a6' fusionne avec l'angle a5 et devient violet.

Sp(n - 2) = S(n) - a6 + a6', or a6 = a6'
Donc Sp(n - 2) = S(n)
Or d'après l'hypothèse de récurrence Sp(n-2) = 180
Donc S(n) = 180.

De même avec les angles impairs.
Et de même avec tout autre paires de de pliures symétriques à A0.

Généralisation

Le Théorème de Kawasaki est nécessaire et suffisant pour vérifier la pliabilité d'un schéma de pliage quand il s'agit d'un pliage à sommet unique. Il est localement nécessaire sur les schémas de pliages à sommets multiples, mais pas suffisant, comme le démontre l'exemple suivant.

Un schéma de pliage impliable
Source : The Combinatorics of Flat Folds : a Survey

Quiz : les schémas sont-ils valides ?

En 1996, Bern et Hayes ont prouvé que la question générale de savoir si un schéma de pliage donné peut être plié en une figure d'origami plate est NP-difficile. À l'aide des axiomes développés ci-dessus, saurez -vous déterminer lesquels de ces schémas ne sont certainement pas valides ?

Les lignes rouges correspondent à un pli vallée, les bleues à un pli montagne.

Réponses en bas de page !

Mais à quoi ça sert ?

Cette théorisation de l’art de l’origami en principes mathématiques permit d’aller plus loin dans le domaine en lui-même et de créer des figures à haute complexité pour toute sorte de travail créatif. Mais pas que ! Les structures développées en origami ont en effet révélé avoir des applications en médecine, en science, dans l’espace...

Le télescope “Eyeglass”
En 2002, les ingénieurs du Lawrence Livermore National Laboratory souhaitaient envoyer à 40 000 km d’altitude une lentille de Fresnel de 100 mètres de diamètres. Pour l'envoyer par fusée, pas d'autre moyen que de la plier ! Ils prirent contact avec la communauté des origamistes et travaillèrent avec Robert Lang sur un schéma permettant à n’importe quel anneau ou disque plat de se plier en un cylindre soigné et compact.

Robert Lang posant devant le prototype de la lentille

Le problème rencontré dans ce projet était celui d'un objet destiné à être plat et grand à son arrivée, mais petit pour le trajet. Problème valable pour envoyer des objets dans l’espace, ou dans le corps humain. 

La greffe d'un stent en origami
Un stent est un dispositif médical tubulaire utilisé pour maintenir ouverte une cavité de l'organisme. En 2003 Zhong You et Kaoru Kuribayashi, des chercheurs de l'université d'Oxford, développèrent un stent qui se plie selon un schéma d'origami basé sur le modèle appelé de la bombe à eau, permettant ainsi de l'acheminer jusqu'à sa destination avant son déploiement.

Stent modélisé par Zhong You et Kaoru Kuribayashi

Pour illustrer le potentiel de cet art du pliage du papier, terminons sur une parole de Robert Lang, physicien, artiste et célèbre théoricien de l'origami qui est pour beaucoup dans le développement de cette science :

“Quand vous impliquez des maths, les problèmes que vous réglez pour des buts esthétiques uniquement ou pour créer quelque chose de beau révèlent avoir des applications dans le monde réel. Et aussi bizarre et surprenant que cela puisse paraître, l’origami pourrait même un jour sauver une vie.”

Robert J. Lang

Bibliographie

Sources visuelles

Réponses du Quiz

1 : Impliable ! En effet, à de nombreux endroits, l'axiome n°2 n'est pas respecté.
2 : Impliable : le graphe n'est pas bi-colorable ! Par ailleurs, le 3e axiome n'est pas respecté sur certain des sommets.
3 : Potentiellement pliable ! Voici un exemple d'attribution de plis montagnes et vallées :

4 : Potentiellement pliable : les 3 axiomes sont vérifiés.
5 : Impliable : les axiomes 1 et 2 sont vérifiés, mais pas le 3e.

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