Cloches

1-INTRODUCTION

1.1 un peu d’histoire autour de la combinatoire

La combinatoire est un concept mathématique qui procède en fixant un ensemble fini d’objets puis agencer et configurer ces objets de toutes les façons possibles jusqu’à épuisement des possibilités. 

La combinatoire est présente depuis l’antiquité et a fait l’objet de nombreuses recherches et d’étude de plusieurs mathématiciens.

En effet cette dernière avait initialement pour but la resolution de certains problèmes de dénombrement provenant de l’étude des jeux du hasard, plus tard elle se lie a d’autres concepts mathématiques et s’intéressa a l’étude des configurations de collections finies d’elements et traita ainsi plusieurs situations liées a l’analyse combinatoire parmi elle : le rangement des livres sur une étagère, la dispositions d’un groupe d’individu dans une salle de cinéma, le problème des ascenseurs, ainsi que le problème des cloches que nous allons aborder dans cet article, ce problème resolve d’un domaine de combinatoire qu’est la combinatoire musicale. 

L’art des combinaisons est une composante essentielle du discours musical depuis l’époque moderne, car depuis 1960 : heure de gloire de la combinatoire musicale, cette dernière enclenchera le succès de maintes pieces emblématiques, parmi elles les Archipels d’André Boucourechliev, certains travaux d’Igor Stravinsky qui utilise beaucoup lesstratégies combinatoires ou encore l’œuvre magistrale du grand compositeur américainTom Johnson qui repose entièrement sur des procédés combinatoires.

Ici, nous allons nous intéressé particulièrement sur le problèmes des cloches, appelé change ringing dans lequel les mathématiques ont joué un rôle fondamental.

1.2  Approche du problème 

Les sonneurs de cloches dans les clochers anglais pratiquent l’art du “change ringing”, qui consiste à faire sonner n cloches selon toutes les n! permutations.

Les contraintes physiques des cloches font qu’entre deux permutations, seulement deux cloches peuvent changer d’ordre. Plusieurs algorithmes existent pour énumérer toutes les permutations en respectant cette contrainte parmi eux nous allons nous intéresser a Plain hunt, Grandsire et Plain Bob.

1.3 Définition 

Change ringing est l’art de sonner un ensemble de cloches accordées de manière étroitement contrôlée pour produire des variations précises dans leurs séquences de frappe successives, appelées "modifications". Cela peut être par une method ringing dans laquelle les sonneries mémorisent les règles pour générer chaque modification, ou par des modifications d’appel , où les sonneurs sont informés de la procédure à suivre pour générer chaque modification par les instructions d’un conducteur. Cela crée une forme de cloche qui ne peut pas être perçue comme une mélodie conventionnelle, mais est une série de séquences mathématiques.(https://en.wikipedia.org/wiki/Change_ringing)

2-ALGORTHME ET CLOCHES 

Nous allons aborder ici quelques méthodes qui résolvent le problème de cloches et qui s'appuient sur plusieurs règles, et les principales sont :

  • La première et la dernière ligne forment un arrangement qui dénote un tour.
  • Il n y a aucune répétition d'un arrangement.
  • Chaque cloche peut changer de position au plus une fois à chaque mouvement.
  • Aucune cloche ne peut occuper la même position plus de deux fois lors d'un changement.

On dénote un arrangement comme étant une certaine liste ordonnée sans répétition possible des cloches. Le groupe symétrique d'un ensemble de cloches E = { C1...Cn | C est une cloche } est le groupe Sn des permutations de E, c'est à dire l'ensemble des différentes positions des cloches ( les permutations sont effectuées sur les postions des cloches et non sur les cloches elles-mêmes, c'est à dire pour deux permutations (1 2 ) et (3 4 ) appliqué a un arrangement 3 5 2 1 4 on aura 5 3 1 2 4 . )

2-1 L’algorithme Plain hunt 

Dans les méthodes fondamentales de change ringing la plus simple est Plain hunt. En effet, pour un certain nombre de cloches n, nous allons procéder par un parcours uniforme de chaque cloche une par une et chacune d’entre elle change de place a chaque permutation jusqu’à atteindre la première ou la dernière position où elle est sensée ne pas bouger pendant deux arrangements.

Voici une illustration du déroulement de l'algorithme de Pain hunt sur un ensemble a 4 cloches.

Maintenant, prenons un autre exemple sur 5 cloches et voyons l'aspect mathématique de ce problème.Plain hunt utilisera deux permutations alternativement, nous allons les appeler X = (1 2)(3 4) et Y = (2 3)(4 5). Nous écrirons X ou Y entre chaque ligne pour indiquer laquelle des permutation a été utilisée.

(Rappel : un tour est atteint lorsque les cloches reprennent leurs positions de départ.)

1 2 3 4 5
X, (1 2)(3 4)
2 1 4 3 5
Y, XY = (1 3 5 4 2)
2 4 1 5 3
X, XY X = (1 4)(3 5)
4 2 5 1 3
Y, (1 5 2 3 4)
4 5 2 3 1
X,(1 5)(2 4)
5 4 3 2 1
Y,(1 4 3 2 5)
5 3 4 1 2
X,(1 3)(2 5)
3 5 1 4 2
Y,(1 2 4 5 3)
3 1 5 2 4
X,(2 3)(4 5)
1 3 2 5 4
Y ,identité ( on revient donc aux positions de départ des cloches) ceci est un tour.
1 2 3 4 5

Donc après X, Y, X, Y, X, Y, X, Y, X, Y permutations nous sommes revenus au début, nous avons donc effectué un tour après 10 permutations.
Les permutations X et Y génèrent donc un sous-groupe H10 (H2n) de Sn d'ordre 10 (2n) , que nous appellerons "hunting subgroup" .

L'idée générale du problème des cloches : pour générer une méthode de change ringing qui fait plus de 2N arrangement, il faudrait rajouter une nouvelle permutation, on essayera de rajouter le moins de permutations possible pour garder la méthode simple et obtenir quand même une méthode a n!+1 arrangements.


Les premières solutions employées par les sonneurs au problème de cloches était de considérer un sous-groupe H2n de Sn généré par
par X = (1 2) (3 4). . . (n- 1, n) et Y = (2 3) (4 5). . . (n - 2, n - 1) lorsque n est pair et que X = (1 2) (3 4). . . (n - 2, n - 1), Y = (2 3) (4 5). . . (n - 1, n) lorsque n est impair. Nous allons illuster l'lagorithme Plain Hunt avec l'animation ci-dessous :

2-2 Plain Bob

La méthode la plus simple après Plain Hunt est probablement Plain Bob. Cette méthode date d’environ 1650. La méthode Plain Bob est applicable à plusieurs tailles d’ensemble de cloches, mais nous allons nous concentrer sur un ensemble de 4 cloches. L’idée de Plain Bob est de combiner Plain Hunt avec quelque particularités. En effet, nous allons toujours garder les même permutations X et Y sauf que cette fois ci nous allons rajouter une nouvelle permutation appelée Z = (3 4). Ce qui nous fait au total 3 permutations X = (1 2)(3 4), Y = (2 3)(4 5) et Z = (3 4). Nous allons dérouler comme avant cet algorithme en utilisant les permutations comme fait précédemment, à chaque ligne nous allons indiquer quelle permutation a été utilisée.

1 2 3 4
X,(1 2)(3 4)
2 1 4 3
Y,(1 3 4 2)
2 4 1 3
X,(1 4)
4 2 3 1
Y,(1 4)(2 3)
4 3 2 1
X,(1 3)(2 4)
3 4 1 2
Y,(1 2 4 3)
3 1 4 2
X,(2 3)
1 3 2 4
*Y , identité
1 2 3 4 * ici, au lieu d'appliquer la permutation Y qui mènera à l'identité pour arriver a un tour, nous allons appliquer la permutation Z et continuer les permutations

3 1 4 2
X, XY XY XY X = (2 3) = -Y
1 3 2 4
Z, Y −1Z = (2 3)(3 4) = (2 4 3)
1 3 4 2
X, -Y ZX=(1 2 3)
3 1 2 4
Y, -Y ZXY =(1 3)
3 2 1 4
........
Ce qui veut dire qu'on revient à l'état initial au bout 2 * 4 * 3 arrangements. On peut généraliser sur n cloches et on dit qu'on a 2n ( n-1 ) arrangements en appliquant l'algorithme Plain Bob.

2-3 Grandsire

Nous allons parler maintenant d'une autre méthode, la dernière de cet article. La méthode nommée Grandsire (prononcé grand-monsieur) sonne un nombre impair de cloches. Elle a été développée dans les années 1650 par Robert Roan sur 5 cloches, et des extensions de 7 et plus de cloches ont prit place à la fin des années 1600. Le problème que nous avons évoqué ici est sur 7 cloches, mais nous expliquons d’abord Grandsire sur 5 cloches.

Le hunting subgroup H10 est généré par X = (1 2) (3 4) et Y = (2 3) (4 5) comme d'habitude. Nous introduisons Z = (1 2) (4 5), mais la première différence de Grandsire de Plain Bob et qu'on introduit la permutation Z avant, c'est à dire au tout début des changements pour ensuite appliquer Y
et puis nous alternons entre X et Y jusqu'a atteindre le sous groupe ZH10.
La dernière permutation faite sera Y et au total nous aurons fait ZY XY XY XY XY = ZX. ensuite nous répétons les permutations, c’est-à-dire Z, Y, X, Y,. . . , X, Y jusqu'à ce que nous ayons couru à travers le sous-groupe (ZXZ) H10, puis nous répétons les permutations à nouveau, ainsi nous aurons effectuer un tour.

1 2 3 4 5
Z Z Z
2 1 3 5 4 2 1 5 4 3 2 1 4 3 5
Y Y Y
2 3 1 4 5 2 5 1 3 4 2 4 1 5 3
X X X
3 2 4 1 5 5 2 3 1 4 4 2 5 1 3
Y Y Y
3 4 2 5 1 5 3 2 4 1 4 5 2 3 1
X X X
4 3 5 2 1 3 5 4 2 1 5 4 3 2 1
Y Y Y
4 5 3 1 2 3 4 5 1 2 5 3 4 1 2
X X X
5 4 1 3 2 4 3 1 5 2 3 5 1 4 2
Y Y Y
5 1 4 2 3 4 1 3 2 5 3 1 5 2 4
X X X
1 5 2 4 3 1 4 2 3 5 1 3 2 5 4
Y Y Y
1 2 5 3 4 1 2 4 5 3 1 2 3 4 5


Pour certaines personnes, le but ultime de ce système est de faire sonner toutes les permutations, de faire sonner les cloches de la tour dans le moindre ordre possible sans répéter ce que l’on appelle une étendue "extent" (ou quelquefois jadis une sonnerie pleine "peal"). La faisabilité de ceci dépend du nombre de cloches impliquées: si une tour a n cloches, elle a n! permutations possibles, un nombre qui devient assez grand à mesure que n grandit. Par exemple, alors que six cloches ont 720 permutations, huit cloches en ont 40 320; de plus, 10! = 3 628 800 et 12! = 479 001 600. une étendue s sur 12 cloches prendrait plus de trente ans.

En estimant deux secondes pour chaque changement (un rythme raisonnable), on constate que si une sonnerie sur six sonneries peut être accomplie en une demi-heure, une autre sur huit sonneries devrait durer près de vingt-deux heures et demie. (Quand en 1963, les ringers de Loughborough sont devenus le seul groupe de l'histoire à réussir cet exploit avec des cloches à la tour, il leur a fallu un peu moins de 18 heures.

P_{n}

Pour tout n ∈ ℕ, si l'on désigne par Pn  le nombre de manières de positionner n cloches , on a

{\displaystyle P_{n}=A_{n}^{n}={\frac {n!}{(n-n)!}}=n!}

4-bibliographie

https://en.wikipedia.org/wiki/Method_ringin http://musiquealgorithmique.fr/combinatoire-2 http://dictionnaire.sensagent.leparisien.fr/Change_ringing/en-en https://arxiv.org/pdf/1203.1835.pdf http://www1.maths.leeds.ac.uk/~rsturman/talks/gravity_fields.pdf https://www.nagcr.org/pamphlet.html

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