Les deux enveloppes

Imaginez vous sur le plateau d’une émission de télévision. Vous vous êtes qualifié pour la dernière épreuve, voici en quoi elle consiste : Deux enveloppes sont en face de vous, chacune d’elles contient une somme inconnue, la seule chose que vous savez c’est que l’une des deux enveloppes contient le double de l’autre. On vous demande d’en choisir une sans l’ouvrir ; une fois votre choix fait, le présentateur vous propose de changer d’enveloppe ou de confirmer votre choix.

Que faites vous ?! Est-il plus judicieux selon vous de changer votre choix ou non ? Vous avez 1 chance sur 2 de remporter la plus grosse somme mais comment faire pour optimiser vos chances de victoire? Vous ne le voyez peut-être pas mais vous vous trouvez actuellement face à un paradoxe, et nous allons vous le prouver.

Tout au long de cet article nous tenterons de répondre à la question suivante, est-ce que les probabilités garantissent le résultat le plus favorable ? En premier lieu nous allons définir les termes importants dont nous aurons besoin, ensuite nous allons voir en détail le paradoxe des deux enveloppes présenté ci-dessus. Enfin, nous verrons des problèmes similaires afin d’approfondir les notions abordées.

Définitions des termes

Paradoxe

Un paradoxe de manière générale est une idée ou une proposition à première vue surprenante ou choquante, c'est-à-dire allant contre le sens commun. Il s'agit aussi d'une figure de style qui consiste à formuler une expression contradictoire au sein d'un discours.

Ici nous utiliserons une définition plus orientée scientifique. Au sens large, un paradoxe est une absurdité qui découle d'un raisonnement supposé vrai. Il y a donc une contradiction apparente entre la démarche, considérée comme correcte et le résultat obtenu, considéré comme erroné.

Probabilité

Une probabilité est une grandeur dont on évalue le nombre de chances qu'a un phénomène de se produire. Cette grandeur est toujours comprise entre 0 et 1.

Espérance

En mathématiques on peut calculer la probabilité de gagner un certain lot, et on peut connaître combien le joueur peut gagner en moyenne par le calcul de l'espérance. C'est une notion primordiale lorsque l'on étudie les gains sur plusieurs paris. Si l'espérance de gain est positive les paris ont plus de chance de gagner que ce que représente la probabilité de leur cote.
Par exemple, prenons le jeu pile ou face. La probabilité de chaque face est de une sur deux. Attribuons à pile "vous gagnez 12€" et à face "vous perdez 10€". Calculons l'espérance de gain à l'aide de la formule :
soient Pg la probabilité de gagner, Pp la probabilité de perdre, Mg montant gagné par pari et Mp montant perdu par pari. On a :

espérance de gain = Pg * Mg - Pp * Mp

En appliquant la formule sur notre exemple on obtient une espérance de gain de 1€ par lancer.

Le calcul de l'espérance dépend des gains qui sont mis en jeu. Dans le cas d'un pari sans aucune issue perdante possible mais uniquement des variations de gain, ce calcul est légèrement différent. Reprenons l'exemple du pile ou face avec cette fois-ci "Pile vous gagnez 12€" (Pp) et "Face vous gagnez 10€" (Pf). Il n'y a pas de résultat pour lequel vous perdez de l'argent, l'espérance devient :

Pour i allant de 1 à n, faire Xi.Pi

Pp * gain pile + Pf * gain face

L'espérance de gain de cette situation est de 11 euros.

Nous allons nous pencher sur le jeu des deux enveloppes dans lequel il n'y a pas de perte possible.


Paradoxe des deux enveloppes

Comme présenté au début de notre article nous allons nous focaliser sur le paradoxe des deux enveloppes en utilisant les éléments définis ci-dessus.

Espérance trompeuse

Considérons que vous avez choisi l'enveloppe contenant x euros dans l'enveloppe, deux choix s'offrent à vous:

-Garder la première enveloppe sélectionnée
-Changer d'enveloppe. 

Vous avez choisi de changer d'enveloppe et en appliquant la formule de l'espérance on obtient le calcul suivant:

1/2 * 2x + 1/2 * x/2

L'espérance serait donc de (5/4)x en faveur de "changer d'enveloppe". Vous avez l'impression que changer d'enveloppe vous garantira une plus grande chance de victoire. Ceci est absurde car en tant que candidat, vous n'avez aucun moyen de distinguer les deux enveloppes donc vous ne savez pas avec quel contenu vous commencez votre choix. Autrement dit, une fois que vous avez changé d'enveloppe vous pourriez raisonner de la même manière puis rechanger, encore et encore.

Espérance nulle

Quel que soit le contenu de la première enveloppe, l'espérance sera toujours en faveur du changement dû au fait que vous ne connaissez pas le contenu de votre enveloppe. Il faut voir le problème de manière différente pour comprendre que changer d'avis ne vous apporte rien.

Prenons X le montant d'une enveloppe et 2X le montant de l'autre enveloppe. Comme vous ne possédez aucun moyen de différencier les deux enveloppes, la probabilité que vous ayez choisi l’une ou l’autre est identique à 1/2.

Est-ce que changer d'enveloppe augmente vos chances de gagner plus? Vous avez deux cas possible avec la même probabilité :

-Si vous aviez choisi l'enveloppe contenant 2X (probabilité:1/2) vous perdez X en changeant d'enveloppe.
-Si vous aviez choisi l'enveloppe contenant X (probabilité :1/2) vous gagnez X en changeant d'enveloppe.

On obtient le calcul d'espérance suivant: E = 1/2X + 1/2(−X) =0

Vous n'avez donc rien à gagner à changer d'enveloppe.

Conclusion sur les décisions

Nous avons vu que dans le jeu des deux enveloppes indiscernables, il n'y pas d'issue perdante dans le sens où, quelle que soit l'enveloppe choisie, vous gagnez un montant plus ou moins grand. Mais votre objectif était de trouver la méthode pour maximiser vos gains, sans se contenter du minimum sachant que vous n'aviez rien à perdre. Nous avons ainsi démontré qu'il n'est pas plus avantageux de changer d'enveloppe avant de l'ouvrir.

Les variantes du paradoxe

Reprenons le même jeu des deux enveloppes mais admettons cette fois-ci que vous connaissez le montant de l'enveloppe une fois que vous l'avez choisie. Pensez-vous que cela vous donne un avantage par rapport a la situation précédente ?

Montant de l'enveloppe choisi connu

Vous avez choisi votre enveloppe et cette enveloppe contient un certain montant, dans le cadre de notre exemple disons 1000€. Cela vous permet de déduire que l'autre enveloppe contient 2000€ ou bien 500€. C'est tout ce que connaître le contenu de l'enveloppe vous apporte comme information. Cela ne vous donne aucun avantage sur le changement de l'enveloppe choisi. La seul chose que vous pouvez en déduire c'est que si le montant dans l'enveloppe (dans notre cas 1000€) vous semble suffisant, vous pouvez décider de ne pas changer d'enveloppe et de rentrer chez vous avec cette somme. Il n'est donc plus question de raisonnement mathématiques, mais plutôt d'une mentalité selon chacun : certains se contenteront de leur somme sans se risquer à diminuer leur gain, et d'autres, plus joueurs, préféreront tenter leur chance.

Gain et perte

Supposons à présent que votre argent est en jeu. Une enveloppe vous fait gagner une certaine somme d'argent, mais l'autre enveloppe vous en fait perdre. Cela change radicalement la situation dans le sens où il devient question d'un pari : vous misez un montant, soit vous le perdez soit vous le gardez et remportez de l'argent supplémentaire.

Notons x le gain et y la perte. Sachant que la probabilité de chaque issue est de 1/2, l'espérance devient :

1/2 * x + 1/2 * y

Si la perte est plus grande que le gain (x<y) l'espérance sera négative, alors il est évident qu'il ne faut pas prendre ce pari (ou en tout cas , c'est fortement déconseillé) . Si le gain est plus grand que la perte (x>y), alors l’espérance de gain sera positive. Il se peut même qu'elle soit très intéressante. Mais est-il quand même judicieux de prendre le pari?

Et bien cela dépend entièrement de vous. En effet les calculs de probabilités peuvent vous aider à prendre une décision, mais dans le cas d'un pari d'argent , il y a d'autres facteurs à prendre en compte (votre situation financière par exemple). Les calculs de probabilités sont purement mathématiques et donc à différencier de la décision rationnelle que vous devrez prendre. Même si l'espérance de gain venait à être importante, le gain en lui même n'est absolument pas assuré.

Chaque personne sur cette image fera son choix avec ses propres critères
Conclusion sur ces variantes

Les probabilités sur des inconnues peuvent aspirer la méfiance, il est important d'avoir certaines données avant de se lancer. Si le jeu ne vous fait rien perdre, ne pas connaître le gain n'influe pas sur votre chance. Dans le cas d'un pari avec une mise, mieux vaut connaître les probabilités de chaque issue ainsi que la perte maximale que peuvent engendrer ce pari, afin de pouvoir calculer l'espérance et minimiser vos pertes.

En conclusion

Vous ne pouvez pas déterminer quel choix est le plus avantageux dans le paradoxe des deux enveloppes, nous avons vu que les probabilités dans les deux cas étaient exacts c'est donc vous seul ainsi que votre chance qui vous permettront, ou non, de choisir l'enveloppe avec la plus grosse somme à l'intérieur.

Exercices

À présent nous vous proposons de résoudre quelques petits exercices afin de vérifier si vous avez bien assimilé les notions que nous avons abordées. Les réponses aux exercices se trouvent après la bibliographie.

Lancés de dé

Avant de lancer un dé à six faces équilibrés, choisissez un chiffre et misez une somme x. Si votre chiffre tombe, vous gagnez 2x (votre mise x2), sinon vous perdez x. Quelle est l'espérance de gain ?

A présent vous lancez deux dés équilibrés à six faces simultanément, quel est la probabilité de votre victoire?

Lancé de dé n fois

Toujours en possession d'un dé équilibré à six faces, vous choisissez deux chiffres, un perdant et un gagnant et vous misez x. Si le chiffre perdant tombe, vous perdez x et si le chiffre gagnant tombe vous remportez 2x. Si un autre chiffre tombe, vous devez rejouer jusqu'à ce que l'un de vos deux chiffres tombe. Quelle est l'espérance de gain?

Bibliographie

Réponses exercices

  • E = (1/6 * 2x) - (5/6 * x)
  • P = 2/12 = 1/6
  • E = (1/6 * x) - (1/6 * x)
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